Alain Bouquet -Théorie quantique - Applications

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L'équation de Schrödinger indépendante du temps (états stationnaires) est

∆ψ + 8π2m/h2 [E–U(r)] ψ = 0

U(r) = e2/r

Cas simplissime: symétrie sphérique ☛ ∆ψ = d2ψ/dr2 + (2/r) dψ/dr

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Statistiques quantiques

Statistiques classiques de Maxwell-Boltzmann

Bose-Einstein

Bose-Einstein (1924)

Fermi-Dirac

Fermi-Dirac (1926) E. Fermi, “Zur Quantelung des Idealen Einatomigen Gases” (”On Quantization of Perfect Monatomic Gases“), Z. Phys. 36, 902 (1926). P.A.M. Dirac, “On the Theory of Quantum Mechanics“, Proc. Roy. Soc. A112, 661 (1926). [Fermi-Dirac statistics]

Principe d'exclusion de Pauli

Théorème spin-statistique

Théorème spin-statistique (Fermi 1926) au début juste une corrélation empirique non démontrée théoriquement

Pauli 1940

CPT: Pauli 1955

Interaction rayonnement-matière

Mécanique des matrices

Heisenberg 1925

Essai infructueux par Jordan de quantification du champ électromagnétique d'une particule chargée, puis du champ libre

Dirac

Identification des relations de commutation entre opérateurs comme le coeur de la théorie quantique

Application à une assemblée de bosons (quantiques) interagissant avec un système extérieur (un atome) également quantifié, et application aux photons

Nombre variable de photons (absorption et émission) : "seconde" quantification (terme de V. Fock en 1932).

NB: terme trompeur car le champ électromagnétique de Maxwell n'est PAS la fonction d 'onde (étendue) d'un photon (± localisé). Celle-ci est une fonctionnelle du champ quantique (Weinberg l'explique bien dans une conférence de 1996, arXiv:hep-th/9702027)

Calcul des coefficients A et B d'Einstein en accord avec les observations ("The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation" Dirac 1927)

Accueil très favorable au congrès Solvay de 1927

QED

Inconvénient du formalisme hamiltonien: il fait jouer au temps un rôle différent de l'espace (Dirac parle de c-nombre pour le temps alors que l'espace x est un q-nombre, un opérateur)

Essais de formalisme relativiste (Heisenberg, Jordan, Pauli, Klein, Weisskopf, Landau, Peierls, Fermi et bien sûr Dirac lui-même).

Problème récurrent: l'apparition d'infinis

Résolu seulement après 1945 par la technique de la renormalisation

 

Règle d'or de Fermi

Dirac et l'électron

Équation de Dirac

Matrices de Dirac (1927)

Résolution pour un potentiel coulombien (Darwin et Gordon 1928)

 

Spin 1/2

Solutions d'énergie négative

Interprétations des solutions d'énergie négatives comme des protons (Dirac 1929), puis des trous (Dirac 1930)

Puis comme des antiparticules (Dirac 1931)

Positron découvert en 1932

 

Chimie quantique

Tableau périodique

Pauli

Lanthanides et actinides

Molécules

Molécule d'hydrogène et liaison chimique (Heitler et London 1927)

Approximation de Born-Oppenheimer 1927 (≠ approximation de Born en théorie de la diffusion)

Concept d'orbitale (Hund et Mulliken 1928)

Explication des forces de Van der Waals par London (1930)

Schrödinger et London

Schrödinger et London à Berlin en 1928

Hartree-Fock

Analyseur différentiel

Hartree et l'analyseur différentiel

Physique du solide

 

Physique nucléaire

Effet tunnel

Interaction proton-neutron

Interaction forte

Modèles nucléaires: goutte d'eau

Les théoriciens n’étaient pas restés inactifs devant les brillants résultats de l’équipe de Fermi avec les neutrons. Une description complètement quantique d’un ensemble de plusieurs dizaines de nucléons était alors hors de portée des physiciens, même si les interactions avaient parfaitement été connues (ce qui n’était pas le cas). Deux grandes familles de modèles furent développés :

Le modèle de la goutte d’eau (droplet model) suppose que les nucléons interagissent fortement, mais à très courte portée, à la manière des molécules d’eau dans une goutte. Les observations de diffusion sur les noyaux avaient en effet montré que le volume des noyaux était à peu près proportionnel à leur masse atomique A, et que leur énergie de liaison était également, en première approximation, proportionnelle à A. l’interprétation la plus simple était d’imaginer le noyau comme une collection de A objets de taille à peu près fixe, et dotés d’interactions à très courte portée.

Le modèle en couches (shell model) suppose au contraire que les nucléons interagissent peu directement les uns avec les autres, et se déplacent à peu près librement dans un potentiel moyen couvrant l’ensemble du noyau et définissant une série de niveaux d’énergie (les couches) que les nucléons occupent successivement en accord avec le principe d’exclusion de Pauli. Analogue au modèle en couches de l’atome, malgré d’importantes différences, ce modèle ne devint réellement accepté qu’après la guerre avec les travaux de Wigner, de Maria Goeppert-Mayer et de Jensen en 1949 (ce qui leur valut le prix Nobel de physique en 1963). Ce modèle explique en particulier que certains noyaux (les « nombres magiques » 2, 8, 20, 28, 50, 82 et 126 nucléons) soient beaucoup plus liés que le prévoit le modèle de la goutte d’eau car ils correspondent à des couches complètes.

Gamow

Le modèle collectif ou modèle des amas (cluster model) est intermédiaire et suppose qu’un noyau est une collection d’objets fortement liés, comme des particules alpha, qui se déplacent dans un potentiel d’ensemble. Historiquement, c’est le premier modèle de noyau, remontant à Rutherford et à Gamow. Il évolua ensuite vers le modèle de la goutte d’eau. La difficulté vient de ce que le libre parcours moyen des nucléons dans un noyau est du même ordre de grandeur que la taille du noyau, alors que le modèle de la goutte d’eau le suppose beaucoup plus petit, et le modèle en couches beaucoup plus grand.

Cockroft et Gamow Cockroft et Gamow au Cavendish vers 1930

Dès 1928, George Gamow (d’abord à Copenhague avec Bohr puis à Cambridge avec Rutherford) avait imaginé un noyau comme une superposition de particules alpha (et peut-être aussi de protons et d’électrons) liées par des forces de contact analogues à la tension de surface dans une goutte liquide, utilisant un potentiel semi empirique V(r) = 4e2/r – a e-br . Il publia ses résultats le 28 janvier 1930 sous le titre « Défaut de masse et constitution nucléaire ». Prenant en compte attraction de contact et répulsion électrostatique, il pouvait estimer l’énergie de liaison du noyau (le « défaut de masse ») et comparer sa prédiction aux résultats expérimentaux d’Aston.

Modèle de Gamow en 1930

L’accord très approximatif de la théorie de Gamow en 1930 (hachures) avec les données d’Aston (points noirs)

La forme était qualitativement correcte, mais ni la profondeur ni la largeur. Le résultat étant très médiocre au delà de A=40 (10 alphas pour un noyau), Gamow enrichit son modèle en supposant que les noyaux plus lourds avaient des « électrons nucléaires » additionnels (le neutron n’était pas découvert en 1930), 2 d’abord, puis 4 puis 6. Il parvint ainsi à reproduire à peu près la courbe d’Aston, mais il se heurta au problème des électrons nucléaires qui, à ces énergies, devaient avoir des vitesses relativistes, et de ce fait une forte probabilité de s’échapper (paradoxe de Klein). De plus les noyaux au-delà de 30 alphas (A>120) étaient prédits instables (mais les données étaient alors très incertaines).

Prédiction du modèle de Gamow

 

Modèle de Gamow (1930)

Gamow, pragmatique, se dit que la question des électrons finirait bien par être réglée et que le reste du modèle était assez séduisant pour être poursuivi plus avant. Mais il dut retourner en URSS, où il fut bloqué jusqu’à ce qu’il puisse assister en octobre 1933 à Bruxelles à la conférence Solvay. Entretemps la découverte du neutron en 1932, puis les travaux théoriques d’Heisenberg en 1932 et de Majorana en 1933 sur les forces entre nucléons, avaient permis d’améliorer considérablement l’approche de Gamow. L’exposé d’Heisenberg à la conférence Solvay de 1933, « Considérations théoriques générales sur la structure du noyau », fut présenté par lui comme une version modernisée du modèle de Gamow. Le modèle supposait qu’un proton ou un neutron ne voyait que ses voisins immédiats (autrement dit, son libre parcours moyen était petit devant la taille du noyau). En fait, ce n’est pas le cas, le libre parcours est du même ordre de grandeur que la taille du noyau et les effets collectifs ont toute leur importance. Malgré tout, le modèle de la goutte est efficace dans de nombreux cas. Le noyau est modélisé comme une goutte (liquide) et non comme un cristal (solide) car les fluctuations quantiques de position (fluctuations « de point zéro ») sont du même ordre que les distances entre particules.

Données expérimentales

La mesure de la taille des noyaux était une information très importante pour la construction d’un modèle nucléaire. Pour les noyaux légers, on pouvait mesurer l’écart à la loi de Rutherford (Coulomb) ⇒ hydrogène 0.8x10-15 m. Pour les noyaux lourds, on utilisait la transmutation α par effet tunnel → position et largeur de la barrière ⇒ polonium 7x10-15 m et uranium 9x10-15 m. Mais pour tous les autres ? Il restait la diffusion de protons (mais répulsion coulombienne à prendre en compte) ou la diffusion de neutrons (mesure de la diminution du flux de neutrons rapides en fonction de l’épaisseur traversée)

⇒ rayon ∝ A1/3

⇒ r = (1,7 + 1,22 A1/3)x10-15 m

⇒ densité nucléaire constante (densité = A/volume)

Taille des noyaux

 

Autre information essentielle : l’énergie de liaison des noyaux.

Eliaison = | Mnoyau – Z mproton – N mneutron |

Énergie de liaison par nucléon constante ~ 8 MeV/nucléon en 1° approximation

Courbe d'Aston

☺explique bien (au moins qualitativement) l’augmentation de l’énergie de liaison du lithium au fer car de moins en moins de neutrons sont près de la surface

☺ explique bien (au moins qualitativement) la diminution de l’énergie de liaison du fer à l’uranium en raison de la répulsion électrostatique ∝ Z2 grandissante

☹ n’explique pas la stabilité particulièrement grande pour 4He, 12C, 16O, 20Ne

Goutte d'eau

L’ensemble des nucléons a une cohésion à très courte portée et (l’équivalent d’)une tension de surface ☞ comportement analogue à celui d’une goutte d’eau ?

Gouute d'eau

Modes de vibration en volume (compression, dilatation, déformation) + modes de vibration de surface

La théorie de l’interaction nucléon-nucléon étant trop rudimentaire, Carl von Weizsäcker (à Leipzig puis à Berlin) s’inspira en 1935 de cette image de la goutte pour établir une formule qui reproduisait bien les mesures d’Aston.

Points de départ :

Il exprimait l’énergie de liaison d’un noyau par une somme de contributions : un terme proportionnel au volume (lui-même proportionnel au nombre A de nucléons), un terme proportionnel à la surface (donc proportionnel à A2/3), un terme d’asymétrie reflétant le principe d’exclusion de Pauli, un terme coulombien de répulsion électrostatique des protons, et finalement un terme de parité dû à la tendance des neutrons et des protons d’aller par paires :

E = aVA–aSA2/3 –aA(N-Z)2/A –aCZ(Z-1)/A1/3 ±δ(A,Z)

Composantes de la formule de Weizsäcker

Formule de Weizsäcker

L’énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons selon Weizsäcker en 1935 (« Zür Theorie der Kermesse »)

Pour des noyaux légers, le terme d’asymétrie tend à forcer N ~ Z (les noyaux stables suivent la diagonale sur le diagramme de Segrè) mais quand la masse augmente (ou plus justement la charge électrique donc le numéro atomique Z > 30) le terme électrostatique déplace la vallée de stabilité vers N > Z.

Hans Bethe reprit, simplifia et améliora le calcul de Weizsäcker et lui donna un grand impact dans trois gros articles de synthèse pour la Review of Modern Physics, l’un en 1936 avec Robert Bacher, un deuxième en solo en 1937 et le troisième toujours en 1937 avec Livingston. Formant une synthèse exhaustive des connaissances sur la structure du noyau atomique et sur sa dynamique au cours des réactions nucléaires, ces articles demeurèrent la « Bible » d’une génération de physiciens nucléaires, même après la découverte de la fission.

Bethe Hans Bethe en 1935

 

Résonances

L’efficacité des neutrons lents fut expliquée par Fermi et par Bethe en terme de longueur d’onde de de Broglie → σ∝1/V . Cela suppose implicitement que le neutron voit tous les noyaux comme des blocs compacts à peu près identiques (à la taille près), et on en déduit que σcapture << σdiffusion comme pour les collisions électron-atome.

Ceci est contredit par les observations qui indiquent au contraireσcapture >> σdiffusion (par exemple, pour le cadmium σcapture ~ 100 σdiffusion ). De plus le phénomène de capture sélective σcapture(B≠A) >> σcapture(B=A) était incompréhensible.

Capture sélective

Ce phénomène fut interprété par Leó Szilárd qui suggéra qu’un noyau donné ne pouvait capturer que certains neutrons, probablement ceux d’une énergie bien précise (dépendant du noyau). Analogie : un atome n’absorbe que les photons dont l’énergie correspond à la différence d’énergie entre deux niveaux électroniques.

⇒ si B=A, le flux de neutrons arrivant en B est appauvri en neutrons capturables ⇒ σcapture(B≠A) >> σcapture(B=A)

☞ études fines systématiques ☞ les neutrons sont bien plus capturés à certaines énergies précises : les résonances

Après les expériences de capture de neutrons par Fermi et son équipe, la découverte de résonances très étroites marqua une nouvelle étape. Une « résonance » signifie que la probabilité pour un neutron d’être absorbé par un noyau augmente très brutalement quand l’énergie du neutron se situe dans un intervalle extrêmement étroit, et diminue brutalement au-dessus ou en dessous de cet intervalle. C’est une situation très semblable à celle de l’atome d’hydrogène : celui-ci n’absorbe de photons que lorsque ceux-ci possède une énergie précise, correspondant à la différence entre deux niveaux d’énergie quantique de l’atome. Il apparaît donc qu’un noyau se comporte, dans ces circonstances du moins, de manière collective, avec ses propres niveaux d’énergie. Tous les noyaux ne manifestent pas ce comportement, qui est donc lié à la structure interne des noyaux.

Sections efficace pour l'hydrogène et le cadmium

Section efficace de capture des neutrons pour l’hydrogène (en bleu) et pour le cadmium (en vert). Le cadmium absorbe les neutrons plus efficacement que l’hydrogène de l’eau, mais le phénomène est bien plus accentué dans la région des résonances, entre 102 eV et 104 eV ©NNDC-BNL

Le modèle de la goutte liquide, qui avait été jusque là utilisé pour comprendre la structure d’un noyau et calculer ses énergies possibles, allait alors être étendu pour modéliser ses interactions avec des particules incidentes. Wigner avait introduit la notion d’un état transitionnel quasi-stable à la suite de la capture d’un projectile par un noyau, état qui se désintégrait ensuite. Wigner avait reçu une formation de chimiste avec Polanyi et ils avaient élaboré une théorie des réactions chimiques dans laquelle les réactants passaient par une coalescence temporaire. En 1935-1936, il avait appliqué ce mécanisme aux noyaux avec Gregory Breit (alors à l’université du Wisconsin) et ils avaient abouti à la « formule de Breit-Wigner » pour la section efficace d’interaction. Bethe et Placzek généralisèrent la théorie de Breit et Wigner fin 1936 (Phys. Rev. 51, 450 - 484 1937). Bethe était à Cornell, Placzek à Copenhague (Universitetets Institut for teoretisk Fysik)

The dependence of the cross section on the energy of the incident particle can be divided into two parts: Firstly, the dependence over energy regions small compared to nuclear energies, and secondly that over large energy regions, of the order of a million volts or more. The first dependence is completely given by the resonance formula; it shows resonance maxima and besides a simple general trend with the particle energy such as the 1 / v law. The dependence over large energy regions cannot be found without referring to a special nuclear model. Bethe&Placzek

Placzek

George Placzek (1905-1955)

De son côté, Niels Bohr reprit l’image d’une goutte d’eau dans un article de Nature en janvier 1936, pour modéliser la capture d’un neutron par un noyau, introduisant la notion de noyau composé. Il développa ce modèle entre 1935 et 1937 avec son élève Fritz Kalckar (1910-1938). L’étroitesse des résonances impliquait que l’ensemble noyau plus neutron formait un noyau nouveau et quasi stable, le « noyau composé ». Il n’y avait guère de différence entre le noyau composé de Bohr et l’état transitionnel de Wigner.

Noyau composé de Bohr

Bohr

Dans la description de Bohr, un neutron pénétrant dans un noyau entrait en collision avec les nucléons qui le ralentissaient jusqu’à le capturer. Son énergie se trouvait alors dispersée entre tous les nucléons (en fait ce n’est pas exact), et aucun n’avait alors assez d’énergie pour ressortir du noyau, sinon par effet tunnel, d’où la quasi stabilité du composé. La distribution de cette énergie fluctuant sans cesse, il pouvait arriver qu’un nucléon parvienne à ressortir, si le hasard faisait qu’il rassemble temporairement assez d’énergie (situation analogue à l’évaporation de l’eau). Dans ce modèle, une réaction nucléaire se déroule en deux étapes bien distinctes :

Chacun des processus possibles est en compétition avec tous les autres, les plus fréquents étant cependant l’émission d’un photon gamma et celle d’un neutron. Les deux étapes sont bien distinctes, et le destin d’un noyau ne dépend pas de la manière dont il a été formé.


Le noyau composé est métastable (i.e. sa durée de vie >> temps nécessaire à un neutron pour parcourir son diamètre)

⇒ le noyau composé a « perdu la mémoire » du processus qui l’a formé

⇒ il peut alors ensuite soit

Résonances

À gauche, la section efficace de capture d’un nucléon par l’oxygène 16 en fonction de l’énergie du neutron, à droite les niveaux d’énergie d’un noyau d’oxygène 17, qui est ici le noyau composé de la théorie de Bohr

Bizarrement, Bohr ne fit aucune référence à Gamow dans son article, ni d’ailleurs Bethe quand il reprit ces résultats dans ses articles de revue. Par la suite, le modèle de la goutte d’eau devint « le modèle de Bohr » (sauf pour Gamow bien sûr).

La région des résonances resta très mal connue jusque bien après 1945, bien qu'elle joue un rôle essentiel dans le choix du modérateur (terme dû à John Wheeler) pour un réacteur, et dans la géométrie relative du combustible et du modérateur. Un noyau donné présente en général plusieurs résonances dont le nombre, la position et la hauteur varient de manière importante d’un noyau à un autre.

Bible de Bethe

La « bible » de Bethe : 500 pages denses: 1. Bethe & Bacher (1936)

Bible de Bethe 2

2° partie: Bethe (1937)

Bible de Bethe 3

3° partie: Bethe & Livingston (1937), intégrant les progrès récents sur la diffusion des protons et des neutrons sur les noyaux

Le modèle de la goutte d’eau, et plus particulièrement l’idée du noyau composé, était donc couramment utilisé par les théoriciens pour décrire le résultat de collisions avec un noyau. Mais s’ils avaient correctement étudié le cas où l’énergie d’excitation du noyau composé se concentrait sur une particule qui pouvait alors être émise, comme lors de l’évaporation d’une vraie goutte liquide, personne n’avait pensé que cette énergie d’excitation pouvait se traduire par un mouvement collectif de la goutte pouvant conduire à sa rupture. Après la découverte de la fission, Bohr reprit avec Wheeler le modèle de la goutte liquide, et ils parvinrent à modéliser correctement la fission en étudiant les déformations de la surface de la goutte, comme nous le verrons plus loin.

Modèles nucléaires: couches

 

 

 

 

 

Interprétations

Interprétation "de Copenhague"

La mesure selon von Neumann

Controverses entre Einstein et Bohr

Le chat de Schrödinger

L'ami de Wigner

Einstein-Podolsky-Rosen

Inégalités de Bell et expériences d'Aspect

Everett

Décohérence

 


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